高一数学必修一单元测试
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1. 设集合P=
,Q=
,由以下列对应f中不能构成A到B的映射的是 ( )A.
B.
C.
D.
2.下列四个函数: (1)y=x+1; (2)y=x+1; (3)y=x2-1; (4)y=
,其中定义域与值域相同的是( ) A.(1)(2) B.(1)(2)(3) C.2)(3) D.(2)(3)(4)
3.已知函数
,若
,则
的值为( )
A.10 B. -10 C.-14 D.无法确定
4.设函数
，则
的值为( )
A.a B.b C.a、b中较小的数 D.a、b中较大的数
5.已知矩形的周长为1,它的面积S与矩形的长x之间的函数关系中,定义域为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知函数y=x2-2x+3在[0,a](a>0)上最大值是3,最小值是2,则实数a的取值范围是( )
A.0
2 C.
a
2 D. 0
a
2
7.已知函数
是R上的偶函数，且在(-∞，
上是减函数，若
，则实数a的取值范围是( )
A.a≤2 B.a≤-2或a≥2 C.a≥-2 D.-2≤a≤2
8.已知奇函数
的定义域为
，且对任意正实数
，恒有
，则一定有( )
A.
B.
C.
D.
9.已知函数
的定义域为A,函数y=f(f(x))的定义域为B,则( )
A.
B.
C.
D.
10.已知函数y=f(x)在R上为奇函数,且当x
0时，f(x)=x2-2x,则f(x)在
时的解析式是( )
A. f(x)=x2-2x B. f(x)=x2+2x C. f(x)= -x2+2x D. f(x)= -x2-2x
11.已知二次函数y=f(x)的图象对称轴是
,它在[a,b]上的值域是 [f(b),f(a)],则 ( )A.
B.
C.
D.
12.如果奇函数y=f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，则在区间[-7,-3]上( )
A.增函数且有最小值-5 B. 增函数且有最大值-5 C.减函数且有最小值-5 D.减函数且有最大值-5
13.已知函数
，则
.
14. 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= .
15.定义域为
上的函数f(x)是奇函数，则a= .
16.设
，则
.
17.作出函数
的图象，并利用图象回答下列问题：
(1)函数在R上的单调区间; (2)函数在[0,4]上的值域.
18.定义在R上的函数f(x)满足：如果对任意x1，x2∈R，都有f(
)≤
[f(x1)+f(x2)]，则称函数f(x)是R上的凹函数.已知函数f(x)=ax2+x(a∈R且a≠0)，求证：当a>0时，函数f(x)是凹函数;
19.定义在(-1，1)上的函数f(x)满足：对任意x、y∈(-1，1)都有f(x)+f(y)=f(
).
(1)求证：函数f(x)是奇函数;
(2)如果当x∈(-1，0)时，有f(x)>0，求证：f(x)在(-1，1)上是单调递减函数;
20.记函数f(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使f(x0)=x0成立，则称以(x0，y0)为坐标的点是函数f(x)的图象上的“稳定点”.
(1)若函数f(x)=
的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a的取值范围;
(2)已知定义在实数集R上的奇函数f(x)存在有限个“稳定点”，求证：f(x)必有奇数个“稳定点”.
参考答案：
1.C; 2. A; 3.C; 4.C; 5.B; 6.C; 7.B; 8.D; 9.B; 10.D; 11.D; 12.B;
13. 2.5; 14. g(x)=2x-3; 15. 1或2; 16. x6-6x4+9x2-2;
17.解: (1)在
和
上分别单调递减; 在[-1,1]和
上分别单调递增.
(2) 值域是[0,4]
18.(1)证明：对任意x1、x2∈R，∵a>0，∴f(x1)+f(x2)-2f(
)
=ax12+x1+ax22+x2-2[a(
)2+
]
=
a(x1-x2)2≥0.∴f(
)≤
[f(x1)+f(x2)]，∴f(x)是凹函数.
19.(1)证明：令x=y=0，则f(0)+f(0)=f(0)，故f(0)=0.
令y=-x，则f(x)+f(-x)=f(
)=f(0)=0.∴f(-x)=-f(x)，即函数f(x)是奇函数.
(2)证明：设x1
).
∵x10，-1
<0，∴f(
)>0，
即f(x1)>f(x2).∴函数f(x)在(-1，1)上是减函数.
20.解：(1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1≠x2)是函数f(x)=
的图象上的两个“稳定点”，
∴
，即有x12+ax1=3x1-1(x1≠-a)，x22+ax2=3x2-1(x2≠-a).
有x12+(a-3)x1+1=0(x1≠-a)，x22+(a-3)x2+1=0(x2≠-a).
∴x1、x2是方程x2+(a-3)x+1=0两根，且∵x1， x2≠-a，∴x≠-a，
∴方程x2+(a-3)x+1=0有两个相异的实根且不等于-a.
∴
∴a>5或a<1且a≠-
.
∴a的范围是(-∞，-
)∪(-
，1)∪(5，+∞). (2)∵f(x)是R上的奇函数，
∴f(-0)=-f(0)，即f(0)=0.∴原点(0，0)是函数f(x)的“稳定点”，若f(x)还有稳定点(x0，y0)，则∵f(x)为奇函数，f(-x0)=-f(x0)，f(x0)=x0，∴f(-x0)=-x0，这说明：(-x0，-x0)也是f(x)的“稳定点”.综上所述可知，f(x)图象上的“稳定点”除原点外是成对出现的，而且原点也是其“稳定点”，
∴它的个数为奇数.
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